Связь экономики и физики: Аналогии между механикой, термодинамикой и макроэкономикой

Данная заметка является продолжением публикаций: Аналогии экономики с термодинамикой и механикой

                                                                                           Метод научного познания 

                                                                                           Аналогии между механикой и микроэкономикой

                                                                                           Аналогии между поведением цен на рынке и теорией колебаний

Эти публикации являются популярным изложением книги: И.Г.Царев Математика и физика для экономистов.

Ранее (Метод научного познания) мы записали динамическую систему Гамильтона, запишем её снова:

Первое уравнение отражает закон сохранения энергии механической системы.

Выражения:

Также имеется мнение, что динамическая система Гамильтона является некой универсальной математической моделью, которой можно описать любое наблюдаемое явление.

Перейдем к термодинамической системе.

Автор этих строк заметил, что уравнение для закона сохранения энергии термодинамической системы и уравнения для «термодинамических сил» T и P имеют вид, аналогичный уравнениям динамической системы Гамильтона:

В данном случае функция U(S,V) называется внутренней энергией термодинамической системы и является аналогом полной энергии механической системы H(p,q). Выражение dQ = TdS является изменением теплоты системы, а выражение dA = PdV – работой, производимой системой или над системой. Их разница есть полный дифференциал, который называется первым законом термодинамики и является разновидностью закона сохранения энергии.

В результате этого авторского наблюдения известные механические функции становятся аналогичны известным термодинамическим функциям:

Пары переменных T, S и P, V называют термодинамически взаимными величинами или, в более общем смысле, – сопряжёнными переменными. При этом величины S, V называют координатами, величины P, T – силами. Как мы видим, терминологически совпадение с механической системой полное.

Тот факт, что величины   – векторы, а величины S, V, P, T – скаляры, в данном случае не имеет значения, так как во всех дифференциальных уравнениях в данном случае присутствует скалярное произведение векторов.Координаты и силы называют также термодинамическими параметрами или параметрами состояния системы.

Термодинамические координаты S, V и термодинамические потенциалы U, F, H, Ф зависят от количества вещества в системе и поэтому являются «аддитивными или экстенсивными величинами». Термодинамические силы T и P, аналогично скоростям и силам механической системы, не зависят от количества вещества в системе, и поэтому являются «интенсивными величинами».

При таком рассмотрении получается, что термодинамическая система также описывается некой обобщенной «динамической системой Гамильтона». Однако данный подход отсутствует в классической термодинамике. В данном случае этот подход на первый взгляд не добавляет существенного понимания термодинамической системы, однако в дальнейшем, при переходе к экономической системе все окажется более интересным.

Термодинамическая система, единственным видом работы которой является работа расширения, называется простой системой. Термодинамическая система, совершающая помимо работы расширения другие виды работ (ξdW) , называется сложной системой. Для любой сложной системы существуют дополнительная пара сопряженных переменных: обобщенная сила ξ и обобщенная координата W. Например, для системы «магнетик в магнитном поле» обобщенной силой является напряженность магнитного поля H, а обобщенной координатой намагниченность магнетика M, для обратимого гальванического элемента обобщенной силой является электродвижущая сила ξ, а обобщенной координатой – заряд элемента Z.

Открытая термодинамическая система – это система с переменным количеством вещества G, которая может обмениваться с внешней средой не только энергией, но и веществом. Для открытой системы доказана теорема:

Величина φ для открытой системы (или φ^* для сложной открытой системы) называется «химический потенциал». Химический потенциал обладает замечательным свойством, он позволяет вычислять изменение любого термодинамического потенциала любой (сложной и открытой) термодинамической системы при изменении в системе количества вещества.

Полный дифференциал сложной открытой термодинамической системы записывается в виде

Это выражение называют «фундаментальное уравнение Гиббса».

Интерпретируем переход от микроэкономики к макроэкономике аналогично переходу от механики к термодинамике. В этом случае, во-первых, можно выстроить определённый перечень формальных математических аналогий между параметрами и функциями термодинамики и макроэкономики. Запишем эти аналогии

Экономический потенциал - чистый национальный доход N, аналогично термодинамическому потенциалу, а также экономические координаты труд L и капитал K, аналогично термодинамическим координатам, являются аддитивными или экстенсивными величинами, из которых при желании можно выделить землю Z и предпринимательскую способность G, что увеличит количество параметров экономической системы. Экономические силы: уровень производства (максимально возможный совокупный выпуск в единицу времени) Y и научно-технический прогресс P, аналогично термодинамическим силам, являются интенсивными величинами.

Переход от микроэкономического описания экономической системы к макроэкономическому аналогичен переходу от микроскопического описания явлений природы к феноменологическому (макроскопическому). Феноменологические теории описывают явление в наиболее общем виде, устанавливая основные закономерности явления. В этом главное достоинство феноменологических теорий.

Попробуем теперь исходя из известных законов термодинамики, записать аналогичные им законы экономической системы:

Закон 1 (Аналог нулевого начала термодинамики, который говорит о том, что при неизменных внешних условиях температура всех тел выравнивается и наступает тепловое равновесие). При неизменных условиях взаимодействия с другими системами уровень производства Y в различных отраслях экономической системы выравнивается.

Закон 2 (Аналог первого закона термодинамики или разновидности закона сохранения энергии). Чистый национальный доход (ЧНД) по определению в каждый момент движения экономической системы должен возрастать на количество создаваемой в системе добавленной стоимости и уменьшаться на количество амортизационных отчислений, направленных на восстановление изношенного капитала, что отражено в уравнении

Изменение ЧНД - ΔN определяется разностью ΔQ – ΔA при любом процессе, при котором система переходит из исходного состояние в рассматриваемое. Это означает, что интеграл от dN не зависит от пути интегрирования, дифференциал dN является полным, а ЧНД или N есть одна из функций состояния экономической системы.

Закон 3 (Аналог второго закона термодинамики – изменение энтропии либо пропорционально подводимому к системе теплу либо больше этой величины). Уровень производства Y есть максимально возможный совокупный выпуск продукции в единицу времени, при соответствующих затратах первичных факторов производства. Если этот уровень достигается, то добавленная стоимость связана с затраченным трудом следующим соотношением

которое отражает оптимальный (равновесный) процесс производства в экономической системе. Оптимальный процесс производства является обратимым, т.е. экономическая система способна без потерь пройти обратно к исходному состоянию через все промежуточные состояния.

Однако эффективный уровень производства достигается не всегда, и в этом случае процесс производства не является оптимальным (равновесным). При этом труд не обязательно используется рационально, а добавленная стоимость не полностью соответствует тем затратам труда, которые были произведены

На математическом языке это выражение означает, что дифференциал добавленной стоимости dQ не является полным.

Амортизационные отчисления в каждый момент движения экономической системы могут быть записаны в виде уравнения

где дифференциал dA также не является полным.

Общее выражение для оптимальных и неоптимальных процессов производства будет иметь вид

Размер экономической системы определяется количеством находящихся в ней ресурсов, а именно, количеством трудовых ресурсов L и производственных ресурсов K, которые в данном случае будут экономическими координатами.

Уровень производства Y и технический прогресс P – экономические силы, взаимные с экономическими координатами L и K.

Чистый национальный доход N является функцией состояния и однозначно определяется размерами трудовых и производственных ресурсов. Экономические параметры K, L, Y и P также являются функциями состояния. Величина валового внутреннего продукта (добавленной стоимости) Q и величина амортизационных отчислений A являются функциями процесса и зависят от избранного пути экономической системы.

Труд, являясь самовоспроизводимым ресурсом при нормальных условиях (если исключить войны, эпидемии и т.д.) может только возрастать, что вполне согласуется с его энтропийной аналогией.

Термин «перегрев экономики», когда темпы экономического роста (увеличения N) слишком велики и поглощают все ресурсы, при указанных аналогиях имеет не образный, а вполне конкретный смысл.

Действительно, dN ~ Y, а Y аналогичен температуре экономической системы, которая в этом случае слишком велика.

Для оптимального процесса вместо неравенства мы можем записать дифференциал ЧНД, выражения для уровня производства Y и научно-технического прогресса P:

Таким образом, добавление новых экономических координат (например земли Z) в систему приводит к появлению новых экономических сил. Заинтересованный читатель может самостоятельно выписать новые уравнения экономики, аналогичные уравнениям термодинамики для сложных систем.

Закон 4 (Аналог теоремы Нернста-Планка – энтропия при стремлении абсолютной температуры к нулю также стремится к предельному значению). Если в экономической системе ничего не производится (Y=0), то в такой системе люди воспроизводить свою жизнь не могут (L стремится к минимальному значению).

Закон 5 (Аналог принципа Ле-Шателье-Брауна – внешнее воздействие, выводящее систему из равновесия, стимулирует в ней процессы, стремящиеся ослабить результаты этого воздействия). Пусть научно-технический прогресс P нарушает равновесие системы со средой, а изменение уровня производства Y нарушает внутреннее равновесие экономической системы. Тогда внешнее воздействие, выводящее экономическую систему из равновесия, стимулирует в ней процессы, стремящиеся ослабить результаты этого воздействия.

Смысл этих неравенств заключается в следующем, если научно-технический прогресс приводит к изменению размера производственных ресурсов в системе, то меняется, в частности, уровень производства. Восстановление оптимального уровня производства приводит некоторому восстановлению производственных ресурсов.

А также

Это означает, что производительность труда при интенсивном развитии (когда рост происходит за счёт научно-технического прогресса при постоянных производственных ресурсах) оказывается выше, чем при экстенсивном развитии (когда рост происходит за счёт расширения производства при неизменной технологии).

В данном случае если научно-технический прогресс приводит к тому, что системе требуется меньше производственных ресурсов, то система выводится из равновесия, и в частности вырастает уровень производства. Это стимулирует процессы, стремящиеся понизить избыточное предложение товаров, и в системе сокращается количество необходимых производственных ресурсов.

Обсудим теперь причины, которые могут служить причиной нарушения равновесия в связи с изменением количества капитала в системе.

В первую очередь такой причиной может быть изменение функции A (амортизации). Научно-технический прогресс приводит к периодическому обновлению оборудования на более современное и эффективное. Период обновления оборудования является неравновесным промежуточным состоянием системы, хотя в течение всего периода может наблюдаться локальное равновесие, связанное с достаточно быстрым перераспределением трудовых ресурсов.

Еще одной причиной могут служить колебания котировок акций фондовой биржи, которые приводят к изменению цены используемого капитала, и, как следствие, к его перераспределению.

Колебания цены на товарных и сырьевых рынках могут приводить к изменению доходности различных отраслей экономики (или отраслей промышленности) и вызывать перелив капитала из одной отрасли в другую.

Принцип Ле-Шателье в сформулированном нами виде говорит о том, что указанные изменения будут происходить не так быстро, как бы этого хотелось участникам рынка. Паровоз под названием промышленное производство трудно разогнать, но и остановить его тоже непросто.

Закон 6 (Аналог открытой системы). Если теперь предположить, что функция предпринимательской способности G определяет количество экономических субъектов (люди, не проявляющие предпринимательскую способность, включены в группы в качестве рабочей силы), то эта функция есть аналог количества вещества в термодинамике.

Тогда запишем уравнения для открытой экономической системы, аналогичные уравнениям термодинамики