Основы математики - непрочный фундамент красивого здания

Математики красивое здание построили,

Но с фундаментом очень непрочным.

Разрыв с самой Природой устроили,

Её описание сделав не точным.

 

О системах. Система является одним из четырёх первичных целостных объектов в природе и обществе. Эти объекты включают:

1.        Неделимый единичный элемент среды существования.

2.        Двоичный процесс с изменяющимся объектом и мерой изменчивости.

3.        Три вида взаимодействий, образующих сложные структуры.

4.        Четырёхэлементную саморегулирующую систему.

Первичным признаком этих целостных объектов является количество элементов в них. Однако этот признак необходим, но недостаточен для их полного описания, в частности:

·          элемент среды — единичный, целостный объект, не имеющий подчинённых элементов, но может иметь внутреннюю структуру.

·          процесс — включает два по два элемента: количественную и пространственно-времнную изменчивость объектов и её меру.

·          взаимодействия — состоят из трёх элементов и трёх уровней подчинённости: 3³ = 27 видов.

·          системы — четырёхэлементные объекты с четырьмя уровнями подчинённости: 4⁴ =.256 видов.

Системы бывают естественными и искусственными, но все они имеют одну формулировку определения:

Система – целостный четырёхэлементный объект, существующий в соответствующей среде, с четырёхмерной изменчивостью, четырёхуровневой структурой и четырёх функциональным органом саморегуляции или управления.

Классификация основных наук. Природа является естественной системой, изучаемой естественными науками, которые делятся на:

Ø  физику, которая исследует энергетическую среду четырёх её видов: тепловую, магнитную, электрическую и гравитационную,

Ø  механику, которая описывает механические процессы с четырёхмерной изменчивостью,

Ø  химию, которая изучает взаимодействия атомов, приводящие к четырём состояниям вещества: газообразному, жидкому, твёрдому и сыпучему,

Ø  биологию, которая освещает живую природу, включающую биоорганизмы, флору, фауну и общество.

На основе этих наук по аналогии создаётся система философии, включающая:

ü  натурфилософию,

ü  диалектику,

ü  логику,

ü  методологию.

Физика с философией служат основанием для построения системы математики, основными элементами которой являются:

ü  теория множеств,

ü  теорией комплексов,

ü  теорией векторов,

ü  теорией тензоров.

Эти науки оперируют соответствующими первичными понятиями: элемент, комплекс, вектор и тензор.

Построением искусственных систем по законам естественных систем занимается общая теория систем с её системными методами:

v  системным подходом,

v  системным анализом,

v  системным синтезом,

v  системотехникой.

При изучении одной математической модели, изучается сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизм законов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания, вдохновил Людвига фон Берталанфи на создание «общей теории систем». В этом изоморфизме законов похожесть структур разных областей знания в их моделировании. Название системотехники унаследовало первичный смысл слова «техника», как умение пользоваться системными методами.

Преимущества системных методов в том, что используют четко ограниченное количество математических моделей для описания чрезвычайно сложных реальных систем, особенно, искусственных.

Связь математики, философии и физики. Естественные науки, философия и математика являются неотъемлемым содержанием интеллектуальной системы. Тем не менее математики часто пренебрегают философией. И это не случайно. Очевидно, это связано с тем, что философия не является системой, так как плохо объясняет функционирование естественных систем. Поэтому она мало чем может помочь математикам при построении своей системы.

Математики построили величественное здание науки, но, как и в любом большом сооружении, фундамент и каркас требуют особого внимания. Для того чтобы наука могла развиваться устойчиво, необходима более прочная система, которая бы опиралась на законы природы. Ведь математика, несмотря на свою мощь, как бы сама по себе не существует: она должна быть связана с философией и физикой, иначе её мощь не будет полной. Как отметил Михаил Ломоносов: «Математика – царица всех наук, но служанка физики». В свою очередь, Цицерон прекрасно выразил роль философии в этой связи: «Философия - мать всех наук». Математика не только дитя философии, но и служанка физики, ведь именно её законы помогают нам описывать реальный мир, делая наши математические модели полноценными и осмысленными.

Сделать математику по-настоящему сильной можно только тогда, когда она будет служить основой для более глубокого понимания природных процессов и явлений. На основе этого принципа предложен подход, который не только учит пользоваться математическими методами, но и показывает, как они могут быть инструментом для глубокого анализа окружающего нас мира.

Схема построения математической системы. Математика является системой. Её основа – четыре основополагающих понятия:

множество,

§   комплекс,

§   вектор,

§   тензор.

Каждому понятию соответствуют четыре этапа изменчивости и её меры, определяемые арифметическими действиями:

       объединением (сложением),

       умножением,

       вычитанием,

       делением.

Каждый вид изменчивости сопровождается образованием структур в виде равномерного степенного ряда: 1¹, 2², 3³, 4⁴.

Каждый вид структуры сопровождается четырьмя степенями понимания, соответствующими системным методам:

o    неопределённая,

o    неоднозначная,

o    определённая,

o    однозначная.

Степень понимания математических объектов напрямую связана с точностью их представления через условные обозначения, описание процессов, схематическое изображение и создание моделей. Математические обозначения, или «язык математики», традиционно воспринимаются как графическая система, предназначенная для того, чтобы абстрактные математические идеи и суждения становились доступными для восприятия. В этой работе использована расширенная система условных обозначений, которая более полно отражает структуру и взаимосвязи между математическими объектами, обеспечивая тем самым более глубокое понимание их функционирования.

Модели, применяемые в современной математике, делятся на линейные, нелинейные, алгоритмические, простые и сложные в зависимости от оператора, который используется для их описания. В данном контексте особое внимание уделяется моделям матричного типа, поскольку они наиболее наглядно иллюстрируют системные связи между различными математическими объектами и их взаимодействиями, что позволяет получать более полное представление о функционировании сложных систем.

Матричные математические модели. Для описания системы математических объектов используются как обычные модели, например, линейные, так и более сложные матричные формы. Линейная форма предпочтительна в большинстве случаев, поскольку она является более простой и интуитивно понятной. Однако изложение материала в виде формул матричного типа имеет ряд преимуществ.

Во-первых, это обеспечивает преемственность формы для всех математических объектов, что упрощает восприятие и позволяет легко работать с различными объектами в единой системе. Во-вторых, матричные модели позволяют представлять даже самые сложные формулы в компактной и наглядной форме, тем самым делая их более доступными для понимания и анализа.

Система матриц. Матричное описание представляет собой систему, в которой основой служат треугольные матрицы, обладающие характерными признаками. Количественные характеристики этих матриц проявляются в строках и столбцах. Строки матриц отображают внутреннюю структуру первичных объектов, таких как элементы, комплексы, векторы и тензоры, в то время как столбцы характеризуют внешнюю структуру множеств, с которыми эти объекты взаимодействуют.

Мерность является вторичным признаком, который отражает размерность матриц. Строки-матрицы и столбцы–матрицы являются одномерными. Эти одномерные объекты вместе формируют двумерную матрицу. Эта плоская двумерная структура становится более сложной в трехмерных матрицах, которые можно представить как пространственные пирамиды с тремя элементами, расположенными на её ребрах. Четырехмерные матрицы включают в себя четыре элемента на ребрах и четырехугольное основание пирамиды.

Квадрат основания пирамиды указывает на правильность её структуры, а также символизирует однозначность матрицы. Это основание играет ключевую роль, поскольку оно служит переходом к ромбической форме матриц, где вторая пирамида представляет собой единицы измерения.

Реальные объекты могут быть измерены по-разному в зависимости от их природы. Например, штучные объекты могут измеряться в штуках, а другие объекты — в натуральных единицах измерения, таких как кубометры. Оба типа измерений могут быть связаны с определённой ценой, выражаемой в деньгах — универсальной единице измерения. Однако стоит отметить, что деньги в разных странах имеют разную стоимость. Поэтому возникает необходимость в единой универсальной единице измерения, которая однозначно определяет ценность объектов и позволяет установить чёткие и справедливые взаимосвязи между различными валютами и рынками.

Структурный или качественный признак матрицы связан с арифметическими действиями, которые могут приводить к неоднозначным результатам. Эти особенности отображаются в верхних и нижних индексах, их виде и количестве. Рассматриваемый четырёхэлементный степенной ряд может быть выражен индексами от одного до четырёх. Если элементы матрицы одинаковы, индексы могут быть числовыми, что указывает на степень умножения, а сама матрица в таком случае приобретает форму квадратной или кубической.

Степень определённости. Матрица может содержать элементы с различными уровнями определённости. В зависимости от этого, её элементы могут быть обозначены разными скобками:

·                    Круглые скобки для неопределённых элементов,

·                    Квадратные скобки для неоднозначных элементов,

·                    Треугольные скобки для определённых элементов,

·                    Фигурные скобки для однозначных элементов.

Такой подход позволяет визуализировать иерархию и степень определённости элементов матрицы, делая работу с ними более понятной и логичной.

Матричная форма представления также служит важным инструментом для системного подхода к математическим моделям, что является центральной темой в данной работе. Матричные модели позволяют наглядно связать различные аспекты математической системы, обеспечивая прочную основу для последующего обсуждения и более глубокого анализа.

Графическая схема этого множества представлена на рис. Х

Рисунок Х. Графическая схема системы матриц.

Структура системы матриц. Эта схема предоставляет наглядное представление структуры матриц как взаимосвязанных элементов, подобно тому, как Солнечная система состоит из связанных между собой объектов, каждый из которых оказывает влияние на окружающее пространство. Центральное положение единичного элемента в матричной системе подчёркивает его важность как базовой единицы для построения всех остальных математических объектов. С помощью таких матриц можно представить и описать сложные структуры, включая взаимодействие множества объектов и их элементов.

Важным является то, что этот подход позволяет более гибко работать с различными уровнями абстракции, добавляя физический и системный контекст к математическим моделям. В частности, разные виды матриц (например, треугольные или квадратные) соответствуют разным уровням и степеням определённости системы, что позволяет математически моделировать различные природные явления и структуры с учётом их внутренней организации и взаимодействий.

Наглядная интерпретация матриц. Представим себе соты для яиц, из которых вырезан квадратик с четырьмя ячейками. Если в них положить четыре яйца, а сверху еще одно (больше положить не получится), то это будет прообраз первых двух элементов пространственной треугольной матрицы с размерностью 2 (2×2×2). Делаем квадратик сот с тремя ячейками. На них можно слоями уложить яйца, естественно начиная с нижнего: три по три, два по два и одно наверху. Это прообраз пространственной треугольной матрицы с размерностью три (3×3×3). На квадратик сот с четырьмя ячейками можно положить четыре слоя яиц: четыре по четыре, три по три, два по два и одно сверху. Это прообраз пространственной треугольной матрицы с размерностью 4 (4×4×4), а квадратик сот иллюстрирует плоскую квадратную матрицу такой же размерности (октаэдр).

Рисунок Х. Схема пространственной треугольной матрицы в виде пирамиды.

Если каким-то образом склеить яйца на сотах, то получим пирамидку с квадратным основанием. Приклеив к этому основанию еще одну такую же пирамидку, получим двустороннюю пирамидку, которая станет прообразом ромбической матрицы.

Рисунок Х. Схема пространственной ромбической матрицы в виде октаэдра.

Если между основаниями этих пирамид приклеить еще две плоские квадратные матрицы, то в середине этой фигуры получим кубическую матрицу с двумя треугольными матрицами с двух сторон. Эту фигуру можно назвать куборомбической (близкая к ромбокубооктаэдру).

Рисунок Х. Схема пространственной куборомбической матрицы.

Если к этой фигуре к боковому квадратику приклеить такую же фигуру, то получим фигуру с прямой и обратной матрицами. Множество матриц и каждый его парный элемент сравниваются.

Рисунок Х. Схема прямой и обратной куборомбической матрицы.

Если же к этой фигуре с одной и другой стороны приклеить еще по три таких же фигуры, то получим матрицы прямой и обратной матриц в соответствующих скобках от круглой до фигурной, характеризующих степень их определённости. Особенность этой фигуры в том, что на четырех остриях пирамид прямых и обратных матриц размещаются по две пространственные троичные матрицы, с помощью которых и достигается однозначный результат за счёт производных высших порядков: четыре первых производных, три вторых, две вторых и одна четвёртого порядка, как однозначная характеристика.

Рисунок Х. Схема матриц четырёх степеней определённости

с производными высших порядков.

Эта достаточно сложная фигура, которую трудно изобразить хотя бы схематично, является прообразом полного тензора, как целостного множества единичных тензоров с большим количеством содержащихся векторов, комплексов и множеств. Однако, эта фигура намного компактнее несистематизированного рассмотрения множества всех элементов, если её записать в матричном виде.

Рисунки иллюстрируют систему матриц. Видны структурные и качественные изменения объектов, что важно для математического моделирования. Концепция "вид с боку" и "вид сверху" помогает лучше понять взаимосвязи в пространстве матриц.

Предложенная модель становится своего рода "гибридом" между геометрией и линейной алгеброй. Использование физических образов и понятий (например, яйцо в сотах), удачно визуализируется многомерность математических объектов, что облегчает их восприятие. Эта схема матриц через многослойные пирамиды или кубы может стать хорошим инструментом для более интуитивного понимания сложных математических объектов, таких как тензоры. Важен подход к изучению математических систем с нестандартной, но в то же время глубоко обоснованной точки зрения, связывающей физику и математику. Это может стать важным шагом в наглядном представлении многомерных структур, и в дальнейшем может быть полезно для исследовательской работы в области системных наук.

Заключение. Такова в общих чертах схема построения систем. Она предоставляет универсальную основу для описания явлений природы и моделирования сложных искусственных систем. Каждый объект дополняет предыдущий, образуя целостную математическую структуру, которая находит применение в физике, механики, экономике, биологии и других науках. Такой подход:

·          Устраняет разрыв между естественными науками, философией и математикой.

·          Расширяет возможности анализа и синтеза систем разной природы.

·          Создаёт условия для практического применения в различных областях.

·          По образу саморегулирования объектов в природе может быть усовершенствована система управления любой искусственной системы.

Примечание. Статья довольно большая. Вряд ли будет интересна широкому кругу читателей. Поэтому она специально помещена в блоге в расчете на специалистов, любую критику которых приму с благодарностью. Злопыхателей и всезнаек со школьным образованием прошу не показывать свою ерундицию и воздержаться от комментариев. У меня осталось очень мало времени, чтобы отвлекаться на всякую ерунду. Буду банить беспощадно.

Кстати, это результат моего общения с ИИ. Редактирование содержания статьи и его сопоставление с известной информацией осуществлялось с привлечением искусственного интеллекта.