Математика аннуитета

Введение

К сожалению, некоторые люди берут кредиты без крайней необходимости. К еще большему сожалению, не все из них четко представляют, с помощью какой магии параметры кредита трансформируются в суммы платежей по нему. Данная статья попробует исправить это. В ней будет рассмотрена математика одного из самых популярных кредитов – с выплатами по схеме аннуитета.

Аннуитетом называется такой график погашения обязательств по кредиту, при котором выплаты осуществляются равными суммами через равные промежутки времени. При этом сумма каждого платежа включает в себя и выплату процентов по кредиту, и частичное погашение тела кредита. В статье мы рассмотрим наиболее часто применяемый аннуитет – с ежемесячными выплатами.

Постановка задачи

Пусть заемщик берет кредит в сумме S рублей, на срок N месяцев, по ставке R процентов годовых. Для полного погашения тела кредита и процентов он с периодичностью один раз в месяц совершает одинаковые платежи в сумме Q рублей, количество платежей за срок кредита равно N. Требуется найти выражение величины Q через параметры S, N, R.

Расчет ежемесячного платежа Q

Обозначим как Х(n) величину задолженности заемщика после n-й выплаты. Для выплаты с номером n:

• задолженность до выплаты равна X(n–1)*(1+R/12),
• сумма выплаты равна Q,
• задолженность после выплаты равна X(n).

Тогда можно записать, что:

(1)   X(n) = X(n–1)*(1+R/12) – Q

       Q = X(n–1)*(1+R/12) – X(n)

Из этого уравнения нам надо найти вид функции X(n). Сделаем это следующим образом. Найдем для начала вспомогательную функцию Y(n), которая является решением более простого уравнения:

(2)   Y(n–1)*(1+R/12) – Y(n) = 0

Если стартовое значение Y(0) равно произвольной константе В, то

(3)   Y(n) = В*(1+R/12)^n

Далее предположим, что на каждом шаге n функции X(n) и Y(n) отличаются только на некую константу D:

(4)   X(n) = Y(n) + D

       X(n) = В*(1+R/12)^n + D

После сделанного предположения мы получили, что X(n) зависит от двух пока неизвестных констант В и D. Если удастся вычислить их из граничных условий для Х(n), то задача определения X(n) будет решена.

Граничные условия для Х(n) следующие:

• в момент получения кредита задолженность равна S, то есть Х(0)=S,
• после последней выплаты задолженность равна нулю, то есть Х(N)=0.

Используем первое граничное условие:

(5)   Х(0) = S = В + D

       В = S – D

       X(n) = (S–D)*(1+R/12)^n + D

Теперь вместо двух, у нас осталась единственная неизвестная константа D.

Используем второе граничное условие:

(6)   Х(N) = 0 = (S–D)*(1+R/12)^N + D

       D = S * (1+R/12)^N / [(1+R/12)^N–1]

Константы В и D найдены. Остался последний шаг – записать искомую величину Q через параметры S, N, R. Подставив уже известные выражения для X(n–1), X(n) и D получаем для величины Q:

 (7)  Q = X(n–1)*(1+R/12) – X(n)

       Q = D*R/12

       Q = (S*R/12) * (1+R/12)^N / [(1+R/12)^N–1]

Результаты

Соберем компактно постановку задачи и полученные результаты.

Итак, заемщик берет кредит в сумме S рублей, на срок N месяцев, по ставке R процентов годовых. Для полного погашения тела кредита и процентов он с периодичностью один раз в месяц совершает одинаковые платежи в сумме Q рублей, количество платежей за срок кредита равно N.

Формула для Q через параметры S, N, R:

Q = (S*R/12) * (1+R/12)^N / [(1+R/12)^N–1]

Рекуррентная формула для задолженности заемщика после n-й выплаты:

 X(0) = S

 X(n) = X(n–1)*(1+R/12) – Q

Для детализации выплат по датам постоянную выплату Q можно разбить на сумму двух переменных:

Q = Q1(n)+Q2(n)

В момент выплаты с номером n:

• величина выплаченных процентов за прошедший месяц, рассчитанных от остатка тела кредита после предыдущей выплаты: Q1(n) = X(n–1)*R/12,
• величина частичного погашения тела кредита: Q2(n) = Q – Q1(n).

При суммировании всех выплат по номерам n от 1 до N:

• сумма величин Q1(n) равна общей сумме выплаченных за период кредита процентов,
• сумма величин Q2(n) строго равна сумме кредита S, это может служить индикатором правильности расчетов при самостоятельной реализации алгоритма.

«Облигационная» модель аннуитета

Ставка аннуитета R используется банками при рекламе своих кредитных услуг клиентам. При этом сами профессиональные участники долгового рынка для оценки доходности своих вложений используют более общую облигационную модель доходности. Именно эта модель используется на Московской бирже для расчета доходности облигаций.

Описанный в этой статье аннуитет с декларируемой клиенту ставкой R в облигационной модели является для банка инвестицией с доходностью R_bond.

Чтобы не утомлять читателя вычислениями, приведем сразу выражение, связывающее параметры аннуитета S, N, R, Q со ставкой R_bond:

(8)     S/Q – q * (q^N – 1) / (q – 1) = 0

 где величина q является функцией только ставки R_bond: 

q = (1+R_bond)^(–1/12)

Аналитически ставка R_bond не вычислима. Ее значение можно получить численными методами. Например, если кредитный калькулятор по описываемому алгоритму реализован в Excel, то подбор величины R_bond можно сделать или вручную, или через меню Сервис – Подбор параметра.

Перейдем к примеру. Рассмотрим кредит со следующими параметрами:

Сумма кредита S = 300’000 рублей, срок кредита N = 60 месяцев (5 лет), годовая ставка R = 21% = 0.21

По этим данным вычисленное значение ежемесячного платежа равно:

Q = 8’116 рублей.

Теперь посмотрим, какова ставка этого кредита согласно облигационной модели расчета доходности. Ставка R_bond, обеспечивающая равенство в формуле (8):

R_bond = 23.14% = 0.2315, что на 2.14% больше декларируемой ставки R.

Облигационная модель также позволяет банку вычислить дюрацию инвестиций в данный кредит. Понятие дюрации можно объяснить следующим образом. Платежи по кредиту проходят в разное время. Дюрация – это средневзвешенный срок выплат по кредиту.

Формула дюрации (в месяцах) по кредиту с выплатами по аннуитету:

(10)   N_bond = (Q/S) * SUM(n * q^n), суммирование по n от 1 до N.

В данном примере расчет дает N_bond = 25.39 месяцев.

Пара величин R_bond и N_bond полезна тем, что позволяет провести экспресс-сравнение нескольких финансовых инструментов с разными параметрами и разной структурой платежей.

Заключение

В Сети много кредитных калькуляторов, один из них можно найти по ссылке в конце статьи. Калькулятор хороший, его результаты совпадают с моими :)

Но если вы решили взять кредит, лучше написать свой собственный калькулятор, а не полагаться на вычисления из Сети или предоставленные банком расчеты. Очень важно, чтобы лично вы понимали, каким образом параметры кредита трансформируются в величину ежемесячного платежа. Это статья поможет.

К тому же в публичных калькуляторах не вычисляются ставка и дюрация кредита по облигационной модели. Если решите делать собственные вычисления, обязательно включайте в них расчет R_bond и N_bond, ваше представление о кредите станет полнее. Кроме того, если вы выбираете между кредитами с разными условиями, посчитайте R_bond и N_bond для каждого из них и сравните, это может помочь с выбором.

Самое главное – если вы по инициативе банка получаете «очень выгодное предложение», то очевидно, что это нужно банку. Но нужно ли это вам?

Ссылки

Кредитный калькулятор на портале Банки.ру:

https://www.banki.ru/services/calculators/credits/