В качестве пятничного отвлечения и развлечения вашему вниманию предлагается разбор задачи, возраст которой уже около 300 лет, то есть Санкт-Петербургской лотереи (далее СПБ-лотерея) и связанного с ней парадокса (далее СПБ-парадокс). Возникает законный вопрос – зачем нужен разбор этой задачи? Ведь введя заголовок данной статьи в поисковик, в качестве первой же ссылки мы получим статью в Википедии, в которой все уже разобрано (ссылка приведена в конце). Но дело в том, что лично мне содержащиеся в Вики объяснения не нравятся. И не потому, что эти объяснения не верны, так разрешать СПБ-парадокс тоже можно. Но хочу предложить гораздо более простое и понятное решение данной проблемы, которое и будет изложено ниже. Итак, начинаем!
Правила СПБ-лотереи
СПБ-лотерея состоит в следующем. Два человека решают сыграть друг с другом. Назовем этих людей Игрок и Крупье. Игрок уплачивает Крупье заранее согласованную ставку, после чего правильная монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет орел. После выпадения орла Крупье выплачивает Игроку его выигрыш. Если орел выпал:
- на 1-м броске, что происходит c вероятностью p(1)=1/2, Крупье выплачивает Игроку сумму x(1)=1 рубль,
- на 2-м броске, что происходит c вероятностью p(2)=1/4, Крупье выплачивает Игроку сумму x(2)=2 рубля,
- на 3-м броске, что происходит c вероятностью p(3)=1/8, Крупье выплачивает Игроку сумму x(3)=4 рубля,
- на n-м броске, что происходит c вероятностью p(n)=(1/2)^n, Крупье выплачивает Игроку сумму x(n)=2^(n-1) рублей.
Ряд вероятностей p(n) представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Сумма прогрессии равна 1, то есть ряд p(n) может рассматриваться как плотность распределения выигрышей Игрока x(n).
Обозначим как X математическое ожидание выигрыша Игрока, которое вычисляется по формуле:
X=SUM[x(n)*p(n)], суммирование проводится по n от 1 до бесконечности.
Но для каждого номера броска n произведение x(n)*p(n) постоянно и равно 1/2. Таким образом, для вычисления Х мы должны бесконечное количество раз просуммировать число 1/2. В результате суммирования мы получим бесконечно большое число. То есть, согласно правилам СПБ-лотереи ожидаемый выигрыш Игрока (и проигрыш Крупье) бесконечен. А теперь переходим к парадоксу.
СПБ-парадокс
Парадокс состоит в том, что несмотря на то, что ожидаемый выигрыш Игрока бесконечно велик, в реальности Игроки готовы платить за участие в такой игре сравнительно небольшие суммы. В статье из Вики приведена оценка максимальной ставки, ее величина для реальных Игроков не превышает 25 рублей (дукатов в Вики).
Разрешение СПБ-парадокса
Кажущаяся парадоксальность СПБ-лотереи состоит в том, что в формулировке связанного с ней парадокса неявным образом смешиваются два мира – идеальный и реальный. В идеальном мире находится Крупье, так как правила СПБ-лотереи неявно подразумевают, что Крупье способен выплатить Игроку ничем не ограниченную сумму. А в реальном мире находятся Игроки, при формулировке СПБ-парадокса это явным образом указано. Стоит совместить идеальный мир с реальным, и парадокс исчезнет.
Это совмещение логично делать переводом в реальный мир Крупье, то есть считать, что Крупье способен выплатить Игроку возможно и очень большую, но конечную сумму. Это все ставит на свои места, в том смысле, что делает конечным математическое ожидание выигрыша Игрока (и проигрыша Крупье).
Поясним сказанное. Допустим, что Крупье способен выплачивать Игроку его выигрыш согласно правилам СПБ-лотереи вплоть до номера броска М, к этому моменту сумма выигрыша Игрока достигнет 2^(M-1). Но после этого броска Крупье уже не в состоянии удваивать сумму выплаты, у него просто кончились деньги. Конечно монету можно подбрасывать и дальше, но на величину выплаты Крупье в пользу Игрока это не повлияет. Мы в реальном мире.
То есть, для бросков с номерами от 1 до М, ряд вероятностей p(n) экспоненциально убывает, ряд выигрышей Игрока x(n) экспоненциально растет, произведение x(n)*p(n)=1/2. Сумма величин x(n)*p(n) на этом участке равна М/2.
Но начиная с номера броска М+1 и до бесконечности ряд вероятностей p(n) по прежнему экспоненциально убывает, а ряд выигрышей Игрока x(n) становится константой, равной 2^(M-1). Это означает, что произведение x(n)*p(n) начнет экспоненциально убывать. Сумма величин x(n)*p(n) на этом участке равна 1/2.
Тогда ожидаемый выигрыш Игрока становится конечной величиной. Формула для математического ожидания выигрыша Игрока, которое соответствует предельному капиталу Крупье 2^(M-1), принимает вид:
Х=(М+1)/2
Итак, ожидаемый выигрыш Игрока конечен, значит конечна и обоснованная ставка Игрока. При переходе из идеального в реальный мир парадокс исчезает.
Подведем итоги:
- Игрок вообще не может сделать математически обоснованную ставку в СПБ-лотерее, не зная капитала Крупье.
- Если М – номер броска, на котором исчерпываются ресурсы Крупье в рамках правил СПБ-лотереи, то предельная сумма, которую может выплатить Крупье равна 2^(М-1), а обоснованная ставка Игрока равна матожиданию его выигрыша, то есть (М+1)/2.
Примеры расчета ставки Игрока для разных капиталов Крупье
В этом разделе мы будем задавать предельные номера бросков М и посмотрим, какие капиталы Крупье 2^(М-1) и обоснованные ставки Игрока (М+1)/2 им соответствуют.
М=1, капитал Крупье 2^(М-1)=1, ставка Игрока (М+1)/2=1. В этом тривиальном случае СПБ-лотерея вырождается в простую орлянку.
М=11, капитал Крупье 2^(М-1)=1024, ставка Игрока (М+1)/2=6.
М=21, капитал Крупье 2^(М-1)=1’048’576, ставка Игрока (М+1)/2=11.
М=31, капитал Крупье 2^(М-1)=1’073’741’824, ставка Игрока (М+1)/2=16.
Ну и так далее. Отмечу, что увеличение капитала Крупье на 3 порядка (точнее в 1024 раза) приводит к росту ставки Игрока всего на 5 рублей.
Отдельно разберем предельную ставку Игрока, указанную в Вики, то есть (М+1)/2=25. Ей соответствует номер М=49. Такую ставку Игрок делает, если надеется на то, что Крупье располагает капиталом 2^48=281’474’976’710’656. Сумма 281 триллион! Упомянутые в Вики Игроки оптимисты!
Заключение
Конечно СПБ-лотерея является задачей не из повседневной жизни. Можно прожить жизнь, и ни разу в нее не сыграть. Но напомню еще раз про ставку 25 рублей в этой игре. Она иллюстрирует на мой взгляд следующее – иногда люди склонны переплачивать без должного обдумывания, переплачивать в широком смысле этого слова и в разных жизненных ситуациях. Понимание и контролирование этого важно. Я так думаю!
Наконец обещанная ссылка на статью из Вики о Санкт-Петербургском парадоксе, полюбопытствуйте, как он решается там:
Комментарии
При обнаружении такого алгоритма у игрока в электронной игре, программа внезапно утрачивает алгоритм случайности, а в физическом, вызывают охрану и взашей выгоняют пьяного клиента, даже, если он совсем не пьёт.
В любом казино не любят людей, которые сначала думают, а потом делают. Но тут даже не в казино дело, это экзотика. Но ведь и любые структуры, предлагающие финансовые услуги, тоже не любят таких людей. А финансовые структуры - это уже повседневность.
Воот, алгоритм универсален, умных не любят, не терпят и гонят. Поэтому народом придуман защитный механизм "Ивана-дурака"- стои себе, соплю рукавом утирай, да говори: - не понимаю мол, барин, не вели дурака казнить.
Годно.
Графиком было бы еще и наглядно.
Какой график имеете в виду? Мне сходу только два на ум пришли: экспоненциальный рост для капитала Крупье и линейный для ставки Игрока.
Два на одном. С отсечкой по суммам.
Кстати, подумалось, что если заменить монеты молекулами водорода, то парадокс перестает быть. Постановка задачи тоже существенна.
P.S. И еще можно точку перегиба конечной суммы Крупье.
Насчет молекул не уловил идею. Разверните подробнее, если время есть.
Замените монеты на что-то ненужное. Например, молекулы водорода. Убираем социальный элемент, решение задачи в такой постановке никому не интересно. Как в задачке с шахматной доской замените зерно молекулами водорода, сразу становится неинтересно.
В этом смысле да, согласен. Но я рассматривал этот парадокс именно как модельную иллюстрацию того, что надо думать, считать, а уж потом делать. То есть социальный аспект мне был принципиально важен. Для того в конце и выделил текст курсивом.
Парадокс в том, что "надо думать, считать, а уж потом делать" не зависит от постановки задачи.
Опять же должен согласиться :)
Вопрос только в том, разрешим ли этот парадокс именно в социальном аспекте?
Глобально, то есть в отношении всех.
Или даже локально, в отношении кого то одного, но на длительном интервале наблюдения.
Чем дольше живу, тем больше прихожу к мнению, что люди обычно не думают.
СПБ парадокс конечно разрешим. Папа мне всегда говорил: "Сынок никогда не играй в азартные игры на деньги, особенно с государством".
А в чем смысл, это же казино наоборот? Если орел не выпал сразу (50%) то ты автоматом в плюсе.
А вот если только на N раз тогда "честно"
Почему если орел не выпал сразу, то Игрок автоматом в плюсе? Согласованная сторонами ставка Игрока может быть вообще говоря любой, не обязательно 1 рубль. Смысл статьи в том и состоит, чтобы найти обоснованную ставку. А для этого Игроку нужна информация о капитале Крупье.
А кто в конкретном розыгрыше в плюсе будет, неизвестно. Игрок платит Крупье заранее известную ставку. Крупье платит Игроку заранее неизвестный выигрыш.