Вероятностные игры: Несимметричная орлянка

Рассуждения Игрока2

Если выпала решка, то для Игрока2 складывается безрисковая в данном розыгрыше ситуация. Он уже выиграл, вопрос только в том, какую сумму: X или 2X. Поэтому при выпадении решки Игроку2 всегда есть смысл предлагать удвоение ставок.

Если выпал орел, то с точки зрения выигрыша или проигрыша в данном розыгрыше у Игрока2 возможны варианты:

- Сразу открыть монету и проиграть сумму Y.

- Предложить удвоение ставки, и если Игрок1 спасует, выиграть сумму Х.

- Предложить удвоение ставки, и если Игрок1 согласится, проиграть сумму 2Y.

После этих рассуждений можно записать стратегию для Игрока2:

- При выпадении решки предлагать удвоение ставок всегда.

- При выпадении орла предлагать удвоение ставок иногда, то есть блефовать на орле с некой вероятностью q, и открывать монету без блефа с вероятностью (1-q).

 Рассуждения Игрока1

Игрок1 понимает описанные выше рассуждения. Но он не знает, является ли полученное от Игрока2 предложение об удвоении ставки в конкретном розыгрыше блефом на орле или попыткой затянуть его в удвоенный проигрыш на решке. Всегда пасовать при предложении об удвоении нельзя, это очевидный проигрыш в длинной серии игр.

Поэтому стратегия Игрока1 должна быть следующая:

- При предложении удвоения ставок соглашаться с некой вероятностью р, и пасовать с вероятностью (1-р).

Матожидание выигрыша Игрока1

Выразим матожиданиет выигрыша Игрока1 (которое обозначим как Е1) через величины X,Y,p,q. Помним, что монета правильная, орел и решка выпадают с вероятностью 1/2.

Составляющие Е1 слагаемые для различных вариантов выпадения монеты и действий игроков указаны ниже.

1. Выпала решка, Игрок2 предложил удвоение, Игрок1 спасовал:

(-X)*(1/2)*(1-p)

2. Выпала решка, Игрок2 предложил удвоение, Игрок1 принял:

(-2X)*(1/2)*p

3. Выпал орел, Игрок2 сразу открыл монету без блефа:

Y*(1/2)*(1-q)

4. Выпал орел, Игрок2 предложил удвоение, Игрок1 спасовал:

(-X)*(1/2)*(1-p)*q

5. Выпал орел, Игрок2 предложил удвоение, Игрок1 согласился:

2Y*(1/2)*p*q

Матожидание Е1 является суммой указанных пяти величин. После преобразований получаем:

E1=(1/2)*(Y–X–X*p–(X+Y)*q+(X+2Y)*p*q)

Матожидание выигрыша Игрока1 не зависит от стратегии Игрока2 (то есть от вероятности q), если выполнено условие:

– (X+Y)*q+(X+2Y)*p*q=0

– (X+Y)+(X+2Y)*p=0

Отсюда получаем оптимальную величину вероятности p, с которой Игроку1 надо соглашаться на предложение поднять ставки:

p_opt=(X+Y)/(X+2Y)

Ну и наконец найдем E1 при p=p_opt:

E1_opt=(Y^2–X^2–X*Y)/(X+2Y)

Матожидание выигрыша Игрока2

Тут уже все просто. Это игра с нулевой суммой, то есть выигрыши одного игрока являются проигрышами другого. Поэтому сразу можем записать матожидание выигрыша Игрока2, так как Е2=–Е1:

E2=(1/2)*(–Y+X+X*p+(X+Y)*q–(X+2Y)*p*q)

Матожидание выигрыша Игрока2 не зависит от стратегии Игрока1 (то есть от вероятности p), если выполнено условие:

X*p–(X+2Y)*p*q=0

X–(X+2Y)*q=0

Отсюда получаем оптимальную величину вероятности q, с которой Игроку2 надо блефовать:

q_opt=X/(X+2Y)

Ну и наконец найдем E2 при q=q_opt:

E2_opt=(–Y^2+X^2+X*Y)/(X+2Y)

Справедливое соотношение ставок X и Y

Соотношение ставок справедливо, если E1_opt=E2_opt=0

Отсюда получаем нужное нам уравнение:

Y^2–X^2–X*Y=0

(Y/X)^2–(Y/X)–1=0

Решив это квадратное уравнение, получаем справедливое отношение ставок:

Y/X=(5^(1/2)+1)/2

X/Y=(5^(1/2)–1)/2

Округлив правые части до 3-х знаков после запятой получим более узнаваемые величины:

Y/X=1.618

X/Y=0.618

Таким образом, Y/X равно пределу отношения соседних членов последовательности Фибоначчи (далее по тексту Ф или «фи-большое»), а X/Y равно коэффициенту золотого сечения (далее по тексту ф или «фи-малое»). Это  красивый результат, который трудно было предположить до решения задачи.

Ну и наконец найдем оптимальные вероятности p_opt и q_opt при справедливом отношении X и Y. Указывая только 3 знака после запятой получим:

p_opt=ф=0.618

q_opt=ф*(1–ф)=0.236

Это тоже красивый и априорно не ожидаемый результат.

Выводы

1. Если Y/X=Ф, то игра потенциально справедлива, то есть матожидание выигрыша обоих игроков равно нулю. Игроки реализуют этот потенциал, если выполнено хотя бы одно из условий:

- Игрок2 блефует на проигрышном для него выпадении монеты с оптимальной вероятностью q_opt=ф*(1–ф).

- Игрок1 принимает предложение об удвоении ставок с оптимальной вероятностью  p_opt=ф,

Если ни один из игроков не придерживается оптимальных вероятностей, то результат игры не определен. В зависимости от конкретных значений p и q, статистическое преимущество может быть у любого из игроков.

2. Если Y/X<Ф, то игра не справедлива. Превышение ставки Y над ставкой Х не компенсирует Игроку1 информационное преимущество Игрока2. Потенциально матожидание выигрыша Игрока2 положительно, а Игрока1 отрицательно. Игрок2 реализует этот потенциал, если он блефует на проигрышном для него выпадении монеты с оптимальной вероятностью q_opt=X/(X+2Y). В этом случае Игрок1 не может влиять на отрицательное для него матожидание игры.

Однако, если Игрок2 не придерживается оптимальной вероятности q_opt, то возможен вариант, когда Игрок1 может эмпирически путем подбора вероятности p, получить статистическое превосходство в длинной серии игр в этой потенциально проигрышной для себя ситуации, так как при неоптимальном q появляется возможность, когда E1>0 даже при Y/X<Ф. Подбор р проводится из условия:

Y–X–X*p–(X+Y)*q+(X+2Y)*p*q > 0

3. Если Y/X>Ф, то игра не справедлива. Превышение ставки Y над ставкой Х избыточно компенсирует Игроку1 информационное преимущество Игрока2. Потенциально матожидание выигрыша Игрока1 положительно, а Игрока2 отрицательно. Игрок1 реализует этот потенциал, если он принимает предложение об удвоении ставок с оптимальной вероятностью p_opt=(X+Y)/(X+2Y). В этом случае Игрок2 не может влиять на отрицательное для него матожидание игры.

Однако, если Игрок1 не придерживается оптимальной вероятности p_opt, то возможен вариант, когда Игрок2 может эмпирически путем подбора вероятности q, получить статистическое превосходство в длинной серии игр в этой потенциально проигрышной для себя ситуации, так как при неоптимальном p появляется возможность, когда E2>0 даже при Y/X>Ф. Подбор q проводится из условия:

–Y+X+X*p+(X+Y)*q–(X+2Y)*p*q > 0

Дополнительные выводы

Это неплохая игра, чтобы скоротать время в компании друзей. Да к тому же остаться в плюсе по итогам.

Кроме того, нахождение оптимальных стратегий в подобных задачах со строго заданными правилами дает навык, который иногда может помочь в реальных жизненных ситуациях, когда правила заданы нечетко.