Когда бурбаки писали "Теорию множеств", они открыли теорию структур. Эта теория структур даёт один из взглядов на математику с птичьего полёта.
Оказалось (и это, конечно, не афишируется математиками на публику из-за вопроса зарплат, грантов и тому подобного), что из всех математических структур (структур в смысле бурбаков) до сих пор математики занимались микроскопическими секторами из полного "круга" структур.
Комментарии
Заговоры, скандалы, расследования. Никогда не думал что найдется кто-то разводить конспирологию о математике. Про теорию категорий задвинуть хотите?
С математикой все проще - обычно идут от частных вариантов к более общим - идти можно разными путями - отказываясь от разных условия описывающих объекты теории - что немного обобщеней структуры.
Или подбирая какую-то многообещающую теорию с дополнительными ограничениями как модель для другой менее понятной для получения неочевидных в изначальной свойств. Например, натуральные числа можно моделировать специально подобранными по структуре (в обычном понимании не математическим) множествами, так что операции сложения вычитания моделировались операциями объединения/пересечение множеств. Что кстати показывает что теория множеств по выразительности не слабее теории натуральных чисел. Аналогично в других случаях.
Математика конечно интересны любые структуры/теории, но чаще всего их выдумывают и изучают как применение к какой-то имеющееся или к моделированию какого-то физического явления на некотором уровне абстракции.
Нет, обычно математики ищут именно абстракции. Нечто общее, а не частное.
Они все же чаще ищут наиболее абстрактный вариант обладающий нужными свойствами для описания чего-то уже известного.
У просто хода к большим абстракциям есть проблема - да они более применимы ко множеству разных случаев, а значит полученные для них свойства доказано имеются у этих частных случаев, но чем теория абстрактней (имеет меньше аксиом) тем меньше можно доказать для нее интересных свойств.
Математики этого не признают в массе своей) Но вообще это уже философский спор больше. Все ли математически абстракции имеют реальный прообраз в мире?
"чего-то уже известного" может быть и другой математической абстракцией описанной другими аксиомами и терминами)
Не обязательно.
Ну они эквивалентны как правило.
Можно поподробнее ?
Натуральный ряд конструируется из набора пустых множеств.
1. Берётся пустое множество.
2. Конструются новые множества как объединения пустого множества с самим собой. Например :{○,○} ; {○,○,○,} и т.д.(извините, заменил значёк пустого мрожества на кружок, а символ объединения на запятую)
3. Из полученных множеств составляется новое множество. Это будет искомый натуральный ряд.
Теперь, вы сами сможете расписать бинарные операции через операции над множествами)
Прошу прощения, не специалист.
Почему именно пустое множество? Надо будет подумать над пустым множеством ибо специфический объект. Вообще думал что пустое множество в единственном экземпляре. Гм. И скорее всего так и есть, но подумаю.
Мда. Очень специфичный объект. Зря так пустым множеством размахивают. Пока его не понимаю.
Потому что самое простое и универсальное.
Ну да, но оно включено в любое множество.
Да, специфичный объект. Множеством его назвать нельзя ибо не отвечает определению. Пустое множество это некая абстракция, функция от понятия множество. Использовать как в примере выше недопустимо. Это как путать элемент и множество. Хотя они и подобны, но это объекты разной природы. Для чего и как использовать пока непонятно. И да, в единственном экземпляре.
В теории множеств это объекты одной природы, в этом мощь выразительной силы теории, и источник разных противоречий находимых в разных системах аксиом для теории множеств.
Фактически в простом представлении множество аналог предиката иметь-какое-то-свойство. Но в Логике первого порядка Предикаты не являются объектами, те по ним нельзя делать переменных и тем более накладывать на эти переменные кванторы. Теория множеств поэтому близка к бесконечно-порядковой логике спрятанной за особым обозначением в обычной логике первого порядка, да еще с общим классом объектов и для собственно объектов и для множеств как аналогов предикатов в обычной логике. А обычных логиках N-го порядка предикаты разного порядка обычно не смешиваются между собой и объектами.
Но парадоксы приводят к пониманию что не каждый предикат имеет соответствующее множество, т.е. нужны ограничения - на сколько я понимаю математика до сих пор не преодолела эту проблему хотя были предложены кучи вариантов разной степени извращённости.
Хотя порядок пораженный хаосом не излечишь) Проблемы есть не только в теории множеств, но и в собственно логике, точнее в различных ее формальных вариантах. Релевантные логики - одна из попыток их преодолеть. В них ставится предположение что проблема в том что формальной оператор импликации в высказывании не отражает причинную связь между условием и следствием.
С моей точки зрения парадоксов не существует. Есть даже некоторое общее доказательство философского уровня. Будучи зажатым между этим доказательством и карточкой Журдена вынужден был проломить карточку Журдена. Теперь она для меня лишь ошибка в рассуждениях. Ошибка сложная, но тем интересная.
Я скорее настроен с вами согласится - парадокс для какого-то множества просто означает доказательство что множества с заданными свойствами не существует как объект. Проблемность проистекает в априори предположении что любое описанное множество существует. Я думаю математики занимающиеся проблемой противоречий с этим бы не спорили бы если было бы понятно как это выразить в самой логике. В этом весь сыр бор) А рассуждать можно и о несуществующих вещах, и даже делать выводы - существенная часть статей АШ состоит из боль чем полностью из этого.
С моей точки зрения, в данном диалоге маловато конкретики по разным причинам. Предлагаю на этом и закончить.
Повозиться с пустым множеством было интересно. Всем спасибо.
Ну не совсем, так как множества из одинаковых элементов тождествеены, как и пустые, то вы не можете иметь больше одного элементов с темиже элементами.
Там было чуть хитрее - чисто по памяти:
1) o - пустое
2) каждое следующее это объединение предыдущего и множества состоящего из одного предыдущего, задача не только потроения но и простоты операций
0 = o, 1 = {o} 2 = { o, {o }} 3 = { o, { o, {o}}}
a < b == a принадлежит б
a +1 = объединение a и { a }
как там строилось a -1 и a + b уже не помню
Это с нулём, у меня без нуля и тоже по памяти)
Да, точно, если это не мультимножество. Если множество, то действительно придётся делать как у вас.
Ну да, и я так конструирую натуральный ряд. Только использую какой-либо элемент. Для простоты - 1 хотя это неважно. Только в основе лежит несколько иной подход который даёт больше возможностей и последствий. Ах да, 0 нет. Задачей не является получение полного ряда, а отработка логичного механизма конструкции, понимание внутренней механики ТМ.
поторопился там для трех там 3 = { o, { o }, { o, { o }} конечно 4 = { o, { o }, { o, { o }}, { o, { o }, { o, { o }}} } в соответствии с мою же правильно описанным способом сотавления следующего, просто записал не правильно итоговые примеры
Да ничего не оказалось. По сути все не тривиальные математические структуры уже известны. Те же группы полностью классифицировали в прошлом веке. Математика некотором тупике, в том плане что в сравнении с предыдущими эпохами чего-то эпохального, вроде создания абстрактной алгебры или топологии не предвидится. Да, прикладные направления развиваются, и там хватит навсегда. Вот расти "вертикально" в парадигме бинарных операций уже не получается.
Мне кажется это отчасти следствие того что математика развивалась в тесном взаимодействии с физикой, а у той тоже теоретический застой с загоном в схоластику, т.е. выдумывание математических моделей вроде описывающих известные результаты типа теории струн, но так что они практической проверке не поддаются.
Ну как вам сказать. Во многом развитие шло параллельно. Что-то придумывали физики для своих нужд ( те же обобщённые функции ), а что-то из математики и по сей день не востребовано в физике.
Перспективный чат детектед! Сим повелеваю - внести запись в реестр самых обсуждаемых за последние 4 часа.
наркоман что-ли? Теория струн - это про физику, математика в ней только как инструмент.
Не струн, а структур.
будучи студентом физфака универа посещал факультативные лекции теории математических структур - выдержал один семестр и бросил из-за навязчивого ощущения, что меня нагло
наедурят))позже понял, что философия математики - это чистый идеализм, который плохо ложится на материалистическую картину физического бытия